２．１ 傳統光學量測概說
２．２ 幾何光學的相關理論
２．３ 幾何光學於量測上之應用簡介
２．１ 傳統光學量測概說
幾何光學實為目前使用廣泛之精密量測方式，但其學理涵蓋光學與機械學，因此少見有綜合整理式的資料。
光電式精密量測大致可依其量測方法分為幾何物理式量具及相位干涉式量具兩大類。比起相位干涉式量測方法,幾何物理式測量法雖然靈敏度較低，但操作容易，不須有高度的技巧，並且量測範圍廣。因此目前已應用於各產業生產線上，結合機械設備實施線上監控，對於提高生產力，及增加產品附加價值居功至偉。
本章及下一章對於幾何光學於量測上之應用作了初步的探討及分析。其中包含甚多已商業化的光電精密量測的儀器與設備，如雷射掃瞄儀、雷射位移計、、自準儀等等．．．皆是較新的量測設備，也是今日量測技術的一項新趨勢，從這些例子可以看出運用幾何光學於量測上的優越性及普遍性了。現將其優點列述如下：
１．可做製程中之全自動量測與檢驗，以配合自動化生產製造系統。
２．只需微秒之極短時間即可完成量測工作，以達到連續、即時量測的要求。
３．在高溫或惡劣之環境下亦可量測。
４．操作容易，不須有高度的技巧。
５．量測範圍廣。
６．一次裝設就可作多面的量測。
７．以往量測所需的夾具類，量規類等可大幅削減。
２．２ 幾何光學的相關理論
幾何光學是假設光的波長無限短的情況下進行，因此光線是沿直線前進的，在中國商朝有利用烽火臺的傳遞信號的史實， 漢朝有利用冰作成的透鏡聚焦引燃的記載，凡此皆為幾合光學的最簡單應用。
一、反射及折射
光線入射二不同介質的的界面，會發生反射及折射現象。反射是指入射光反回原第一介質的情形，而折射是指入射光進入第二介質的情形。光線由一介質入射另一介質時，因速度改變而發生光徑偏離的現象，若速度變慢，則偏向法線，速度變快，則遠離法線。光速於真空中每秒
m，在介質中速度會變慢，如水中光速每秒
m。其它介質如玻璃，眼球都會使光速變慢。真空中光速與介質中光速之比稱之為介質的折射率。
亦即，折射率＝真空中光速／介質中光速
因此物質的折射率可由通過介質中之光速來決定。一般常見物質的折射率如下：空氣=1.00028，水 = 1.333，各種玻璃=1.5-2.0，金剛石$=2.417。光的反射及折射現象必遵守反射定律及折射定律。
反射定律：
１．入射線，反射線與法線在同一平面。
２．入射線與反射線在法線的兩側。
３．入射角等於反射角，
折射定律：
１．入射線，折射線與法線在同一平面。
２．入射線與折射線在法線的兩側。
３．滿足斯奈爾法則(Snell's Law) ：
若光從折射率為
的介質入射折射率為
的介質，入射角
，折射角
則
二、光程與全反射
在此定義光程（Optical
Path）：光程可定義為光所經過不同介質之折射率（
...）與實際行進路程（
...）的乘積，亦若光經過折射率為
...之介質而其所走之實際路程為 $n_1d_1 + n_2d_2 + n_3d_3 
...。
Fermat定理：光線由 Ａ 點到 Ｂ 點，總是沿著光程為極值（最大、最小、或是常數）的路徑行進。
從斯奈爾定理可知，由於折射率的改變，會使得光線發生偏折現象，若雷射光從折射率小的介質（疏介質）入射折射率大的介質（密介質）稱之為外反射（external reflection）。反之，雷射光從密介質入射疏介質稱之為內反射（internal
reflection$）。在內反射發生時，由於光疏介質的折射率較小，故會造成折射光較偏離法線，若我們繼續加大入射角，則終會使折射角為９０度，此時的入射角稱之為臨界角
，凡大於臨界角
的入射光線，皆會使得只有反射情形，而無法看到折射情形，此種狀況，稱之為全反射。
光纖量測就是藉著全反射的原理來傳遞光信號，除此之外，在測量垂直度的場合，也常用到全俺射的原理來導引光線，在許多場合中，利用全反射的方式來反射光線比利用面鏡反射的效果還要好。
臨界角需滿SIN
=
其中，n為疏介質之折射率
n'為密介質之折射率
三、成像公式
光學量測上常用透鏡或反射鏡來構成儀器與設備，就任何光學設計上來說，最先要知道的幾個 基本問題是它的成像位置及放 大率
式子中f代表焦距
代表透鏡到物的距離
代表透鏡到像的距離
方程式中，每個量之上的數字表是，計算中用的是各量的倒數。在光學設計上，了解各種物像關傒問題的一個途徑是按比例將該系統精確地畫出來，然後按照一些簡單的圖解法描繪光線。
四、像差
在折射率為n的介質裡，光的速度$v$也比在真空中的速度$c$減少了n 倍，亦即v=c/n。習慣上我們用光的波長來表示顏色，但事實上波長是因光的介質而變的，至於頻率f則維持不變。因此倒不如使用光的頻率來表示光的顏色及特性更為適當。但在這裡我們還要注意一點，介質的折射率也隨著光的頻率而變，亦即折射率n實際上應當寫為n(f)才更貼切。同波長的光在不同的介質中會有不同的折射率，因此當白光通過三菱鏡會出現彩虹的現象因為白光中各種不同波長的光偏折不同的角度而產生色散的情形。因此對於透鏡而言，不同波長的平行光入射會有不同的聚焦焦點，這就形成了所謂的色像差。除了色像差之外，另外有其它的單色像差。這些單色像差包括：
１．兩種軸像差：色像差和球面像差。
２．軸外像差：慧形像差，像散現象，視場彎曲。
２．３ 幾何光學於量測上之應用簡介
一、 三角測量
三角關係可以滿足以長度測量角度或以角度測量長度的需要。在一般機械量測上，常見的正弦桿可以提供５分的度精度，但量測的範圍和對象則常受正弦桿形狀的限制，因此有些地方必須要活用三角公式，來求得角度或是長度的量測，而其實施大都以光學方式而為之。
光學的三角測量法常實施于土木，軍事，造船及其他重工業場合中。利用光直線前進的特性，可以用瞄準鏡或經緯儀去對準待測物體。
近來因雷射指向性高，因此使用雷射光成三角量測的情形也就越來越多。有所謂的光槓桿探針即是利用三角幾何等比例的放大關係，將小位移信號放大，如圖1。
二、 望 遠 鏡
望遠鏡，如圖2，通常作為觀察遠方景物之用，但也經常在機械、土木及其它的領域擔任檢視及測量的工作。例如土地測量及建築工程師，應用望遠鏡於經緯儀及水平測量儀。而機械工程師則應用望遠鏡於機台之直線校準及樣模之參考點精密定位，如圖3，角度可達1 SEC，線之準直可達6μm。為達成最精確調整，眼科醫生也使用與望遠鏡構造類似的工具。
(a)型式 1 (b)型式 2
圖1 光槓桿機構
圖2
圖3 望眼鏡的使用
望遠鏡係由一物鏡與一目鏡所組成。兩者之配置，達成滿足對於望遠鏡之要求，即
１．由無限遠平行進入望遠鏡的光線，必須也平行離開。由此一特性可知望遠鏡整體之角度放大倍率為1。
２．離開望遠鏡光線與光軸構成之角度，比進入望遠鏡光線與光軸構成之角度大。物鏡可以用透鏡或反射鏡來構成。因為透鏡是基於光之折射，用透鏡來構成之望遠鏡亦稱為折射望遠鏡，反射鏡由於像之產生是利用反射之故，因此反射鏡望遠鏡亦稱為反射望遠鏡，兩種型式作用也就不同。軸像差是色像差，反射光不會有色像差。天文望遠鏡之視場FOV（Field of View）很窄（一度或一度以下）。因此，物鏡幾乎不會有軸外像差（慧形像差，像散現象，視場彎曲）望遠鏡的各種光學圖都假定：最後的像是成於無窮遠處的虛像。事實上，大 多數人都把焦點放 在比需要的值稍近眼睛處，使的出射光線稍為發散，而如所需得以在20至40吋處成一虛像，不管怎樣，在放 大 率方面是沒有差別的，放大 率嚴格說來是與所張角度有關的，而所張的角度則在任何距離處都相同。因此在穿出目鏡後，必須再重新為軸平行。眼睛看到在無限遠之物體放大。如此就滿足了對於望遠鏡之第二要求。眼睛接收由望遠鏡平行而出之光線，看到在向後延長之像，即復為無限遠。如圖4，為常見的精密定位望遠鏡所使用的靶片，分標準片及長距離使用兩種形式。
圖4 望眼鏡常用之靶片
三、光學自動瞄準鏡
光學自動瞄準鏡（圖5）在1930年代中期就開始用於角度量度上，到了1940年代末期，這種精度是一秒弧度高精密度的儀器才被承認採信。到了1950年代光學自動瞄準鏡之設計原理仍未改變，直到以光電檢測器取代肉眼定位之後，才大為提高其精密度至十倍以上。在1960年代美國、英國及德國製造商已生產了許多光電式的商業化自動瞄準器。
圖5 新式的自動對準器
自動對準器是巧妙應用光的直進性和反射性，就像大部分的量具一樣，如果擁有高精度時便很難同時擁有廣大的量測範圍。例如一具傳統式的光學自動瞄準鏡其最小解析度量測到0.5至1秒的高精度，但是量測範圍最大只量測到20至30分 ，而光電式的自動瞄準鏡其最小解析度量測到0.1至0.01秒的高精度，量測範圍擴大到5度至30分 ，在許多場合仍嫌不足。因此還要有別的基準角度工具（即角度塊規）來配合。角度規之兩面（量測面）精密加工至鏡面，因此很適合將量測光反射回自動對準器。
自動對準器在工程應用上有其獨到之領域，列出如下：
１．測角度
２．測平行度
３．測直線度
４．測平面度
５．測直角度
自動對準器包括有四個主要元件（圖6）：
１．光源及目標靶片。
２．分光器。
３．瞄準器。
４．聚焦檢測器及微動螺。
新式的自動對準器如圖7所示，這裡簡單說明之。利用LED雷射作為光源出來經分光後照射到透鏡上聚集成平行光線，循直線前進到其前面的角度塊規或平面鏡，再反射回來，如圖8所示，一部分光束聚焦至光電檢測器如四分檢測器或二分檢測器上。其光學結構類似雷射唱盤及讀碼機。自動對準器之最小解析度量通常與光源直徑及瞄準器、聚焦檢測器之放大倍率有關，其公式為：
D=2ψF
其中D光源直徑
ψ最小解析度量
F瞄準器、聚焦檢測器之放大倍率
圖6
圖7 利用光電的技術作成的自動對貯氣
圖8 結合肉眼觀察及光電檢測的新式自動對準儀之光學安排
自動對準器若使用校正楔可以提供一標準角度偏差量，使量測中計算出其角度時不需經過繁難三角計算的過程。校正楔看似透明平行板（圖9），但由於折射效應，當光線經過一平行板後，會使入射光產生一平行位移，且此位移與入射角度成正比。而適當調整光線之入射角，經過一校正楔後，會使入射光產生一標準角度偏差量。由此可知校正楔原理與稜鏡相同，由於校正楔的二面相交，夾一角度α（如在稜鏡中我們稱之為稜鏡角，但一般稜鏡角角度之值甚大，像校正楔這種稜鏡角角度很小的可稱為薄稜鏡。），故當光線入射第一面發生折射現象後，再經第二面會將角度的偏移加大，而造成最後光線行進方向與入射
圖9 校正器之外型
方向有Δθ的角度， 稱之為偏向角。角度Δθ（稜鏡角）與偏向角有下面關係：
其中，
等於入射角
等於反射角
以不同波長之入射光而言，對相同之入射角度，相對應有不同大小之偏向角。但如使用雷射，由於雷射波長單一，故無此顧慮。
·
以相同波長之雷射入射光而言，對不同之入射角度，相對應亦有不同大小之偏向角，換句話說，偏向角是入射角的函數，如將此函數對入射角微分，可得偏向角之極值，稱為最小偏向角
，一般校正楔所提供的標準角度偏差量皆屬此。將函數對入射角微分得偏向角之方法較繁瑣，在此提供一個簡單驗證的方法：我們可由光的可逆性得知
：對某一入射角
而言，若產生最小偏向角
，則以出射角
入射亦能產生最小偏向角
，但由事實可知產生最小偏向角
之入射角只有一個，因此： + ，如圖$3-10$所示，亦可推得：
=2
-α,
=
{圖10 最小偏向角 }
由斯奈爾法則$(Snell's Law)：可得：
當使用像校正楔這種稜鏡角角度很小的薄稜鏡時，
，因此
有些自動對準儀尚可選擇明場及暗場兩種模態如圖11所示，，在暗場模態中，其背景不份為黑暗，很適合在反射鏡或待測物面之反射率較低的惡劣情況下作業。
目前有許多工具機的製造商及一般工廠，本身並不願意引入諸如雷射工具機校正儀之量測系統，一方面是因為設備經濟面的考量，一方面也是注意到雷射工具機校正儀之量測系統操作人才必須非常專業，欲培訓這樣的技術人原誠屬不易，因此都改用自動對準儀作工具機的生產線上檢測如圖12、圖13所示，所示，在檢測時操作十分簡單，而檢測後又可由微電腦將結果自動計算列印，在功能方面，除了無法作距離定位檢測外，一般的檢測工作如直線度、平面度、直角度、平行度皆能勝任，這也是自動對準儀的一個發展趨勢。
圖11 自動對準儀及明場及暗揚兩種模態
我們可以使用一精度高達1 sec以上的多面鏡作為輔助，用來校驗工作臺或分度頭旋轉之角度。例如使用八面鏡，則每轉動$45$度時，自動對準儀將回到原來的位置，如圖14所示，利用這個方式，可以量測出工作臺或分度頭的角度誤差量。
前面說過，自動對準儀所量測的值只是角度，欲量測直線度或平面度時，如圖15，必須將角度值乘上每次反射鏡的移動位移量，求出各點的高度差之後，再用最小平方法將各點在基準線的高度值求出來。最後亦可用類似方式記計算出待測物之平面度，如圖16所示。
圖12 以自動對準儀檢驗工具機
圖13 以自動對準儀檢驗機台
圖14 自動對準配合八面鏡量測各種角度
圖15 以自動對準儀測量直線度
四、 投影放大儀
投影放大儀又稱輪廓投影機或光學投影機，其投影方式可分為輪廓投影及表面投影類，目前投影放大儀其投影方式大都輪廓投影及表面投影兩者兼備。目前有許多模具廠的加工方式，是採用將模具輪廓投影放大，再利用其放大之影像來監控其加工尺寸，可以輕易加工精度提升至10μ左右。
圖16 結合各直線的量測結果,構成一個平面的平面度檢驗
１．穿透式投影，又稱為輪廓投影，光源所發出的光通過待測物體外緣，而投射到投影幕上，由於待測工件往往並非透明物，因此我們在投影幕上只能看到物體外緣的輪廓。
２．反射式投影又稱為表面投影，和工具顯微鏡原理類似，光源所發出的光，經工件表面後，反射至投影幕上，而得到放大的工件輪廓。
投影機依其形式與構造可分為：
（一）．向上型：又稱為桌上型，簡寫為PJ或J型，如圖3-17所示，其特點為：
圖17 向上型輪廓投影機
１．可以同時看到測定物及其投影之影像，並且能夠快速的找到要量測的部份，不容易發生量錯鄰近孔位的情形。
２．因裝物臺上下升降之距離較小，投影幕亦較小，較適用於現場及品管部門，對小型物之量測或檢驗最合適。
（二）．向下型：又稱為落地型，簡寫為PV型，如圖18所示。其特性為：
１．投影幕傾斜，作業者容易觀察投影像，可從事工件圖樣的圖形描繪，或比對的工作，而不致疲勞。
２．更換工件後不需再調整焦距。
３．適合大諒不同工件之測量。
４．載物臺下方有投影幕，操作時須小心勿損壞光學結構物。
圖18 向下型輪廓投影機
（三）．橫向型：又稱為水平型，簡寫為PH型或H型，如圖18所示。其特點為：
１．載物臺下方無光學系統通過，構造可以比較堅固。
２．橫向動作距離長，適合量測重型工件。
３．受投影機構限制，高度太高之工件無法測量其較高之部位。
４．適合測量螺絲及齒輪製品，臺面常有T型槽之設計。
圖19 橫向型輪廓投影機
投影放大儀之優點如下：
１．適用於不易夾持之待測物，例如塑性加工後的薄金屬片，電子零件，在夾持時須小心可能產生變形，因此使用投影機可以經由投影幕作從容的非接觸式量測。
２．可以利用比較式標準板，而得到精確的長度量測結果。
３．可以利用旋轉台及標準圓形投影片得到精確的角度測量結果。
４．操作不須特殊技巧，操作時可供多人同時觀察測量。
光學投影機之組成，可分為八個部分：
１．投影幕
２．投影透鏡
３．受檢工件
４．消色差濾光鏡
５．絕熱濾光鏡
６．光源
７．聚光透鏡
８．反射鏡
其中投影機之光源皆使用鹵素燈泡以求得較大之發光強度而本身常具有氣冷風扇，以強制冷卻，確保光源壽命，至於光源亮度及銀幕角度皆可調整，鏡頭倍率也可更換至求得適當影像為止。
光學投影機之量測系統是利用光學原理將工件之輪廓經過各種透鏡及反射鏡，如圖20所示，進而投射到半透明之投影幕上，再配合螺紋測微器及各種標準圖片等輔助工具，以作為尺寸或形狀等量測工作。
標準圖片可以提供在投影幕上的工件放大影像之比較，不同編號的標準圖片有不同的用途，例如18號圖片是由圓心向放射性的圖形，可作為量測工件角度之用，15號圖片是垂直交叉的雙軸密格子圖形，可以作為量測工件座標位置之用，而12號圖片則是細密的同心圓圖形可用以量測圓形工件直徑。
圖20 輪廓投影機之光學安排
利用標準圖片進行之量測工作可概列如下：
（１）不易夾持之待測物座標位置量測
（２）外徑、底徑量測
（３）螺距量測：如再配合利用螺紋測微器，則可進行螺距量測（
旋轉測微器可移動平台，利用投影幕上之基準線進行量測）。
（４）工件角度（如螺牙角、薄金屬片彎曲角度）量測
（５）校驗電子零件表面
（６）校驗小齒輪）
有些輪廓投影機設有照相附件，當需要拍照時，可將原投影幕取下，換裝有拍立得相機之底片匣，拍照時並不需將外界燈光關掉。我們可以使用一支標準的玻璃尺置於載物臺中，將標準尺放大後投影在投影幕上，再以讀尺或標準圖片來判讀，檢查光學輪廓投影儀本身是否有放大倍率方面的誤差。
工件形狀的誤差也常是輪廓投影儀量測時之誤差來源，我們可以將一個直尺與圓桿同時投影在投影幕上，我們將發現由於圓桿本身的焦面不易尋得，而使其影像產生邊緣較直尺影像模糊的結果，這些都是我們在測量時必須考慮到的。
五、 顯微鏡
顯微儀是一種非接觸性量測，利用光學原理，將工件或像經物鏡投射在目鏡，即藉著光線將工件放大或虛像再利用螺紋測微器及目鏡網線等輔助，以作為尺寸及形狀等量測工作。適用於小工件， 不規則形狀、脆性、彈性等材料。我們依據光學結構與作用方式分為如圖3-21所示之各種型式之顯微鏡。
圖21(A)平行放大型光路安排 圖21(B)會聚型光路安排
如圖22所示 ， 顯微鏡之光學結構分成如下：
１．接目鏡
２．觀察筒
３．立體鏡組
４．轉盤
５．接物鏡
６．稜鏡（轉折光線用）
７．樣板圖片
８．光圈
９．附件插孔
１１．偏光鏡附件插孔
１２．濾光色片
１３．光源
圖22 顯微鏡之光學結構
工具顯微鏡之光學原理與金相顯微鏡及一般光學顯微鏡相同，唯其放大倍率較小，但亦有附加電子數位顯示器，CRT 映像管，CDC 攝影機及電腦以增加它的功能，可參考圖23，這樣的系統可將物像放大提供多位觀察者觀察。另有一種型式， 如圖3-24，亦可將物像放大提供多位觀察者觀察。
圖23 加入影像設備的工具顯微鏡
現將工具顯微鏡之光學放大過程略述于下：
將開關打開後，光源經濾光鏡片而形成單色光（一般採用反射式顯微觀察，則光源自上而下打光），形成單色光的目的在于加強影像之對比，如果再加入偏極板，則更能增加影像的清晰程度，光線經待測物表面反射（或穿透後），即進入接物鏡，然後經稜鏡反射至樣板試片，在此載入十字線，網狀或角度刻劃的影像，如圖25，然後經接物鏡後，將物像轉換成平行輸出當觀察者兩眼湊近觀察時，則可得到較佳的視角，即 FOV 視場（ Field of View）較大。
圖24 多人同時觀察的顯微鏡
工具顯微鏡之精度通常與機型及放大率，測定台移動精度等有關，而個人是否熟練，在操作上也會造成誤差，通常誤差在$1μ m-10μm左右。
工場用的工具顯微鏡通常和反射式投影放大儀很像，所不同的是前者直接將虛像的光線送入觀察者眼中，而後者則打在屏風上而於螢幕形成實像。
圖25
通常顯微鏡所作的工作為：
１．尺寸量測：可分為直角座標和極座標之量讀。當量測尺寸時，須注意測定點所形成之測定線必須與十字線重合。
２．角度的測定：可以利用旋轉工作台作小物体之角度量測，其量測之方法有二，一是移動十字線，令待測角一端對準十字線與之重合後，再讓另一諯也重合。一是令待測角頂點與十字線中央重合，旋轉角度刻度盤以量取角度值。角度刻度盤一般設在接目鏡右方，其讀取方式與游標尺游標原理相同。
３．高度的測定：雖然正確性有待評估，但原則上我們如果在待測物上加上治具，而利用清楚聚焦的上下移動量即可測定待測物高度。這個方法在作微小高度的測量與須用非接觸式的測量方面，特別有用。
４．螺紋測定：可利用十字線的調動來測定其內外徑、節徑、節距及螺旋角和螺紋角。十字線旋轉中心之校正：十字線之旋轉是以兩條
ｘ ｙ 所形成之點為旋轉中心，通常在作角度量測時常須將十字線作旋轉，但如果十字線旋轉時有偏心之虞時，則由旋轉圓盤刻度所提供之角度值便正確性便值得懷疑了。因此十字線旋轉中心之調整乃成為使用光學顯微鏡必備的知識，其調整方式如下：
１．使用一個微小點狀之物體，作為校正指標，此指標可以儘量要求其體積小至能夠觀察的程度即可。利用X-Y軸平移台，將指標置于十字線交叉中心點。
２．轉動角度盤，令ｘ－ｙ十字線旋轉180度，此時如果指標物仍在中心點位置，則可以確定旋轉中心並未跑掉。校正工作于是乎完成。但如果指標物已有偏離中心點位置的現象，則必須繼續作調整，如圖26。
３．打開角度盤，輕輕鬆開安全螺絲設指標物偏離之座標為（ｘ，ｙ）。利用４個微調螺絲，將指標物之位置調回成（ｘ／２，ｙ／２）。
４．再旋轉180度，觀察指標物之偏移量（ｘ’，ｙ’），再調回（ｘ’／２，ｙ’／２），此時 ｘ’，ｙ’ 之值比 ｘ，ｙ 值應該小很多。
５．如此反覆旋轉180度，並繼續將偏移量作等分分割，一宜到偏移量無法用肉 眼察覺為止。
圖26 顯微鏡十字線調心的方法