影像之二值化分析
一個影像之二值化分析
一個8-bit之影像二值化後之結果
假設一已知影像的灰階分佈為[1,2,3,...L]，而其中像素之灰階值為 i 的個數等於 ni，影像所有的像素個數之總和為 N=n1+n2+.......+nL。
則影像之正規化可定義為將明亮度對應轉換至 0 與 1這個範圍，在此 0代表黑，1代表亮。正規化轉換的明亮度對應轉換保留了明亮度由黑到白的次序，一張影像的明亮度是在區間[0,1]的有理數。假設對於在[0,1]區間的而言，影像的明亮度是量化後不同等階的變數，原來的影像點明亮度和轉換後的明亮度可分別以它們的機率密度函數(probability density function)表示之：
其中，
為灰度值 k 的點素數量佔整個影像所有點素數量的比例，亦即是灰度值
k 的點素在整個影像出現的機率，
為灰度值 k 的點素數量，n 為整個影像所有點素數量，r 為影像正規化後灰度值 k 的點素所對應轉換之灰度值。現在我們將機率密度函數簡寫為 
﹐亦即像素之灰階值為 i 的機率密度為
，根據定義我們可知
，而 
。
現以二值分劃之閥值 k 將整個影像所有像素分成二部份: C0 和 C1，其中 C0為灰階值範圍為 [1,2,...k] 之像素群；C1則為灰階值範圍為 [k+1,k+2,...L] 之像素群。此時二個部份群集 C0和 C1之機率密度總和分別為
其中機率密度總和
之物理意義為其此部份群集在灰度分佈圖中所佔之面積﹐如圖所示。
根據定義 ﹐因此
﹐也就是說一個影像經正規化後在灰度分佈圖中所佔之面積為 1。
二個部份群集 C0 和 C1之平均數分別為
其中
為灰階分佈圖中灰階小於或等於 k 個值的面積一階衝量(moment)﹐m
0 及 m 1或可視為此些部份群集如C0
和
C1之面積形心與縱標軸之距離。而
為原始總群集的總平均數﹐亦可視為原始影像的面積形心與縱標軸之距離。我們可以選取任一 k 值來得到如下之關係：
亦即我們可將一個物體之面積分割成兩塊較小之面積﹐則此兩塊較小之面積形心座標乘以其面積之和等於此物體面積之形心座標乘以此物體之面積。
1.分辨標準量測(discriminant criterion measures)法
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