信號取樣定理與信號頻譜分析

奈奎斯特取樣定理

信號在取樣時常常會引起交疊 (aliasing) 的現象，而導致信號失真，為避免此一情形，信號在取樣時之取樣頻率必須不小於有效取樣頻率，至於有效取樣頻率則需參照信號取樣定理的規定，信號取樣定理又稱為奈奎斯特取樣定理 (Nyquist Sampling Theorem)，其內容為若 是一所謂的帶限信號 (band limited signal)，亦即當 時 ，則系統的有效取樣頻率 (effective Sampling frequency) 必須滿足 的規定。在此 稱為奈奎斯特頻率 (Nyquist frequency) 而 稱為奈奎斯特率(Nyquist rate)。

在此我們說明奈奎斯特取樣定理的理由：假設 為取樣之信號( Sampling Signal ) 而 為連續時間之信號 ( Continuous - time signal)，則兩者之關係為 ， 為梳形函數 (comb function)，) 亦即

對於梳形函數而言，但凡與它做摺積的函數，梳形函數皆有將其複製的特性，而對於取樣之信號和連續時間信號之時間領域與頻率領域間的對應關係，我們可以列出如下：

時間領域 頻率領域

雖然是一帶限信號，照理講頻率高到某一程度就不該有值，但取樣信號在頻率領域卻是：

亦即取樣信號在頻率領域將會因為取樣而形成到處都有頻帶的情形，如圖 A，這時如果取樣頻率 ，則每個被複製的頻帶將會互相獨立，不致產生干擾，我們只需使用一個低通濾波器即可順利將原信號取出，而無失真。相反的，如果取樣頻率太低，那麼每個被複製的頻帶將會互相干擾，為之交疊現象，而導致信號失真，如圖 B 所示，那時候即使我們使用低通濾波器將信號取出，也不是原來應有的信號形狀了。

傅氏轉換之信號頻譜

為什麼一個信號經過傅氏轉換後，即變為頻譜方面的訊息呢？這一點很多人一知半解，也有很多人百思而不得其解，這其中包括了許許多多從事於信號頻譜分析的工程師及研究生。在此，我們試圖用以下一個簡單的方式來解釋。

假設一個頻率為 �� 的正弦波信號 sin�� t ，其中 �� 為定值，在實際上它們可能帶有不少的雜訊，雜訊數量很多，什麼頻率都有，並且相對於正弦波信號 sin�� t ，雜訊的振幅很小，設其振幅只有正弦波信號 sin�� t的 0.1 倍，則數學上所有的信號可以寫作 ，其中 m 不是個定值，代表著雜訊各式各樣的頻率。在時域圖中我們則完全無法看出正弦波信號 sin�� t 的存在，由於雜訊太多了，所以儘管信號的振幅相當大而雜訊的振幅小，然而由於雜訊數量多的結果，因此嚴重影響了時域圖中正弦波信號 sin�� t 的外觀，而形成亂七八糟的曲線。這時如果我們將所有的信號執行傅氏轉換，則數學上可以寫作：

但別忘了對週期信號正、餘弦函數集合而言，它們具有很好的正交性(orthogonality)，亦即這些正、餘弦函數集合在週期內彼此間之乘積和為零：

在週期內成正交集合，上式公式中，實際上積分區間只要為一完整週期即可，例如積分從 -�f 積至 ，我們可得 0.1�e 某值（當頻率 �� =各式各樣的頻率時），而 1�e 某值（當頻率 �� =�� 時）。

因此在頻域圖中我們仍能清楚的看到當頻率 �� =�� 時，圖形呈現著一個高峰，由於信號的振幅是最大的，因此我們可以一眼認出何者為信號，而何者為雜訊了。皆下來我們再以 matlab 程式進行離散傅氏轉換頻譜分析來做更進一步的說明。

在進入離散傅氏轉換頻譜分析的討論之前，我們先來看看一些 matlab 程式，這個程式我們上一節剛介紹過：

t = 0:.0001:1;

x =sin(2*pi*500*t);

%500hz信號

y = x + 2*randn(size(t));

%加入雜訊

plot(y);

%畫出時域圖

figure

Y = fft(y);

Pyy = Y.*conj(Y);

plot(Pyy), title('Power spectral density'), ...

xlabel('Frequency'),

%畫出離散傅氏轉換頻譜

首先出現的是時域圖（圖 C，我們一點也看不出 500hz 信號在裡頭：

　

至於離散傅氏轉換頻譜 (圖D)，就可發現在 500 處有一峰值：

　

接下來我們把程式略微修改：

t = 0:.0003:6;

x =sin(2*pi*500*t);

%500hz信號

y = x + 2*randn(size(t));

Y = fft(y);

Pyy = Y.*conj(Y);

plot(Pyy), title('Power spectral density'), ...

xlabel('Frequency'),

上面的程式，我們並未更動信號頻率，但離散傅氏轉換頻譜（圖E）卻發現峰值已跑到 3000 處：

　

顯然峰值出現處不只受信號頻率的影響，同時也受取樣時間的影響，這到底是為什麼呢？且看下面的例子：

【練習一】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　離散時間.... 　離散系統之....　信號取樣....　離散傅氏....　快速傅利葉轉換　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 回首頁 　回文字版首頁