離散傅氏轉換之定理與特性

二維離散傅利葉轉換

我們可以將一維的離散傅利葉轉換作推廣，形成所謂的二維的離散傅利葉轉換 (2-D Discrete Fourier Transform)，其定義為：

其中 m 與 k=0, 1, 2, ...M-1，而 l 與 n= 0,1,2,3...N-1， 在此運算子 ，

【練習一】

離散轉換之實際問題考慮

首先我們先談談摺積及相關函數處理，再來討論一些離散轉換運算時遭遇到的實際問題。

1. 摺積及相關函數處理

2. 序列之長度修正

對於兩個長度為有限的序列，我們在做數據資料摺積及相關函數處理的時候，常遇到長度不足的困擾，因此我們必須再將此序列之長度作修正，其中又以填補運算 (Packing Operation) 及延伸運算 (Strech Operation) 最常使用。

【練習二】

【練習三】

離散傅氏轉換之特性

離散傅氏轉換仍能延續連續時間的傅氏轉換的特性，因此談到離散傅氏轉換的性質時，大致上可以與連續連續時間的傅氏轉換放在一起聯想，在這裡我們將就此點討論如下：

1. 線性轉換

假如有兩個有限長度之序列 x1[n] 和 x2[n] ，其離散傅氏轉換 DFT 分別為X1[k] 和X2[k]，則ax1[n]+bx2[n ] 之離散傅氏轉換 DFT 為aX1[k]+bX2[k]。也就是離散傅氏轉換DFT 可以使用重疊定理(superposition theory) 將其成份分批轉換再組合以求得全部轉換之結果，如此可以避開一些繁複的設算工作，而整個系統簡化。

2. 時間平移

假如有一個有限長度之序列 x[n]，其離散傅氏轉換 DFT為 X[k]，則x[(n-m)] 之離散傅氏轉換 DFT 為 X[k] 在此 N 為序列之長度，亦即當訊號時間領域裡落後了一段 m 的時間差後，在頻譜上轉換上必須將原來的頻譜轉換乘上 的係數。

3. 頻率的調變

假如有一個有限長度之序列 x[n]，其離散傅氏轉換 DFT 為 X[k]，則 x[n] 的離散傅氏轉換 DFT 為 x[(k-l)]，其中 N 為序列之長度。從這裡我們看出當頻譜形狀不變，但頻率值改變，亦即將頻譜平移時，我們可以得到一個經過調變後的新信號，由於低頻的信號在通信上常常容串音 (cross-talk) 而失真，因此我們可以將信號在頻譜上平移至高頻部份作傳輸與處理。因此對於一些頻率領域和時間領域上的問題，我們都可以不須再重新計算，只須在原先計算值上作修改即可。

4. 共軛關係

假如有一個有限長度之序列 x[n]，其離散傅氏轉換 DFT 為 X[k]，則：

x[n] 之離散傅氏轉換 DFT 為 X[-k]

x[-n] 之離散傅氏轉換 DFT 為 X[k]

x[n] 離散傅氏轉換 DFT 之實數部份為 1/2[X [k] +X[-k]]

x[n] 離散傅氏轉換 DFT 之虛數部份為 1/2[X [k] -X[-k]]

這也就是說， x[w] 也呈現共軛對稱 (conjugate symmetry)的現象

5. 褶積之特性

假如有兩個有限長度之序列 和 ，其離散傅氏轉換 DFT 分別為 和 ，則對於兩序列之褶積(迴旋積分) 其離散傅氏轉換 DFT 為 。

而兩序列之相乘 x1[n]x2[n] 之離散傅氏轉換 DFT 則變為兩序列之分別相對應之離散傅氏轉換 DFT 作褶積

6. 對稱性質

X[k]=X[-k]

Re{X[k]}=Re{X[-k]}

Im{X[k]}=-Im{X[-k]}

X[k]=|X[-k]|

{X[k]}={X[-k]}

其中， Re{X[k]} 為 X[k] 之實數部份，Im{X[k]} 為 X[k]之虛部份。